Multiplicación de matrices

Usted solo puede multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles, lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz. Si A es una matriz a × b y B es una matriz b × c, el producto AB es una matriz a × c.

La definición de la multiplicación de matrices indica una multiplicación renglón-por-columna, donde las entradas en el renglón ith de A son multiplicadas por las entradas correspondientes en el renglón jth de B y luego se suman los resultados.

La multiplicación de matrices NO es conmutativa. Si ni A ni B son una matriz identidad, AB ≠ BA.

Multiplicando un renglón por una columna

Comencemos por mostrarle como se multiplica una matriz 1 × n por una matriz n × 1. La primera solo tiene un renglón, y la segunda es de una columna. Por la regla anterior, el producto es una matriz 1 × 1; en otras palabras, un número solo.

Primero, vamos a nombrar las entradas en el renglón como r1, r2, ..., rn, y las entradas en la columna como c1, c2, ..., cn. Luego el producto del renglón y de la columna es la matriz 1 × 1

[r1c1 + r2c2 + ... + rncn].

Ejemplo:

Encuentre el producto.

Tenemos que multiplicar una matriz 1 × 3 por una matriz 3 × 1. El número de columnas en la primera es igual al número de renglones en la segunda, así son compatibles.

El producto es:

[(1)(2) + (4)(–1) + (0)(5)]

= [2 + (–4) + 0]

= [–2]

Multiplicando matrices más grandes

Ahora que ya sabe como multiplicar un renglón por una columna, multiplicar matrices más grandes es fácil. Para la entrada en el renglón ith y la columna jth de la matriz producto, multiplique cada entrada del renglón ith de la primera matriz por la entrada correspondiente en el renglón jth de la segunda matriz y sume los resultados.

Vamos a realizar el siguiente problema, multiplicar una matriz 2 × 3 con una matriz 3 × 2, para obtener una matriz 2 × 2 como el producto. Las entradas de la matriz producto son llamadas eij cuando están en el renglón ith y en la columna jth.

Para obtener e11, multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.

Para obtener e12, multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.

Para obtener e21, multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.

Para obtener e22, multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.

Escribiendo la matriz producto, obtenemos:

Por lo tanto, hemos motrado que: