Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas. Así las gráficas de ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1. Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una 1-a-1.

Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar todos los valores del rango.

Si restringimos el dominio de f(x) = sin x a hemos hecho la función 1-a-1. El rango es [–1, 1].

(Aunque hay muchas formas de restringir el dominio para obtener una función 1-a-1 esto es de acuerdo con el intervalo usado.)

Denotamos la función inversa como y = sin–1x. Se lee y es la inversa del seno de x y significa que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x. Pero tenga cuidado con la notación usada. El superíndice “–1” NO es un exponente. Para evitar esta notación, algunos libros usan y = arcsin x como notación.

          Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una reflexión sobre la recta y = x de la función seno.

Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que el dominio está restringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de 1er cuadrante y todos los valores negativos nos arrojará un ángulo de 4to cuadrante.

          Similarmente, podemos restringir los dominios de las funciones coseno y tangente para hacerlas 1-a-1.

El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π]. Esto significa que un valor positivo nos arrojará un ángulo de 1er cuadrante y un valor negativo nos arrojará un ángulo de 2do cuadrante.

El dominio de la función tangente inversa es (–∞, ∞) y el rango es . La inversa de la función tangente arrojará valores en los cuadrantes 1er y 4to.

El mismo proceso es usado para encontrar las funciones inversas de las funciones trigonométricas restantes-cotangente, secante y cosecante.

Función
Dominio
Rango
sin–1x
[–1, 1]
cos–1x
[–1, 1]
[0, π]
tan–1x
(–∞, ∞)
cot–1x
(–∞, ∞)
(0, π)
sec–1x
(–∞, ∞)
csc–1x
(–∞, ∞)