Secciones cónicas y formas estándar de las ecuaciones

Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el cambio del ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos, elipses, hipérbolas y parábolas. Ninguna de las intersecciones pasara a través de los vértices del cono.

          

Si el cono recto circular es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la intersección es un círculo. Si el plano intersecta una de las piezas del cono y su eje pero esté no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una hipérbola el plano intersecta ambas piezas del cono sin intersectar el eje. Y finalmente, para generar una parábola, el plano de intersección debe intersectar una pieza del cono doble y su base.

La ecuación general para cualquier sección cónica es

donde A, B, C, D, E y F son constantes.

Al cambiar los valores de alguna de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también cambiara. Es importante conocer las diferencias en las ecuaciones para ayudarnos a identificar rápidamente el tipo de cónica que está representada por una ecuación dada.
            Si B2 – 4AC es menor que cero, si una cónica existe, está puede ser un círculo o una elipse.
            Si B2 – 4AC es igual a cero, si una cónica existe, será una parábola.
            Si B2 – 4AC es mayor que cero, si una cónica existe, será una hipérbola.

FORMAS ESTÁNDAR DE LAS ECUACIONES DE SECCIONES CÓNICAS:

Círculo (x – h)2 + (y – k)2 = r2

El centro es (h, k).

El radio es r.

Elipse con el eje horizontal mayor

El centro es (h, k).
La longitud del eje mayor es 2a.
La longitud del eje menor es 2b.
La distancia entre el centro y cualquier foco es c con
c2 = a2b2, a > b > 0.

Elipse con el eje vertical mayor

El centro es (h, k).
La longitud del eje mayor es 2a.
La longitud del eje menor es 2b.
La distancia entre el centro y cualquier foco es c con
c2 = a2b2, a > b > 0.

Hipérbola con el eje horizontal transversal

El centro es (h, k).
La distancia entre los vértices es 2a
La distancia entre los focos es 2c.
c2 = a2 + b2

Hipérbola con el eje vertical transversal

El centro es (h, k).
La distancia entre los vértices es 2a
La distancia entre los focos es 2c.
c2 = a2 + b2

Parábola con el eje horizontal (y – k)2 = 4p(x – h), p ≠ 0
El vértice es (h, k).
El foco es (h + p, k).
La directriz es la recta x = h – p.
El eje es la recta y = k.
Parábola con el eje vertical (x – h)2 = 4p(y – k), p ≠ 0

El vértice es (h, k).
El foco es (h, k + p).
La directriz es la rectay = k – p.
El eje es la recta x = h.